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绝对值的几何意义解析 绝对值的几何意义分析

2019-10-17 09:38

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绝对值的几何意义是什么?今天,天津新东方小编就来为大家详细解析下!希望同学们喜欢!

绝对值的几何意义:什么是绝对值

数轴上,表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值.如数a的绝对值记作|a|,表示数a的点与原点的距离.例如|3|指在数轴上3与原点的距离,这个距离是3,所以3的绝对值是3。同样, |-3|指在数轴上表示-3与原点的距离,这个距离是3,所以-3的绝对值也是3。

动图解析:

绝对值的几何意义

绝对值的概念来自于数轴上两点之间的距离,最后抽象为一个非负数,这就决定了绝对值具有几何意义和代数意义,绝对值的本质就是两点间的距离。

绝对值的几何意义:两点间的距离

在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。

但是我们其实可以把|a|看作|a-0|,这样就能表示为数a的点与数0的点的距离.那么|a-5|表示什么呢?千万别说成数a-5的点与数0的点的距离.而应该看成数a的点与数5的点的距离.不能理解的同学,我们就举最简单的例子,数10的点与数5的点的距离是多少,你肯定是知道是10-5,那这里只不过把10换成了a而已,如果a比5小,加个绝对值符号,保证距离的非负性即可,这下你明白了吧.那么|a+5|表示什么呢?|a+5|=|a-(-5)|,表示数a的点与数-5的点的距离.最后,你能说出|a-b|和|a+b|的几何意义吗?

|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离|用几何画板动图解析如下:

①a>0,b>0和a>0,b=0时,AB=a-b

绝对值的几何意义

②a>0,b<0时,AB=a-b

绝对值的几何意义

③a>0,b<0时,AB=a-b

绝对值的几何意义

综上:a>b时,AB=|a-b|=大数-小数

绝对值的几何意义

绝对值的几何意义:绝对值化简求最值

例1.阅读材料:我们知道:点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|.所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.

根据上述材料,解答下列问题:

绝对值的几何意义

(1)若|x﹣3|=|x+1|,则x=_______;

(2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为______;

(3)若|x﹣3|+|x+1|=7,求x的值.

【解答】(1)根据绝对值的意义可知,此点必在﹣1与3之间,故x﹣3<0,x+1>0,

∴原式可化为3﹣x=x+1,∴x=1;

(2)根据题意,可知当﹣1≤x≤3时,|x﹣3|+|x+1|有最小值.

∴|x﹣3|=3﹣x,|x+1|=x+1,

∴|x﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4;

(3)∵|x﹣3|+|x+1|=7,

若x>3,则原式可化为(x﹣3)+(x+1)=7,x=9/2;

若﹣1≤x≤3,则﹣(x﹣3)+(x+1)=7,x不存在;

若x<﹣1,则﹣(x﹣3)﹣(x+1)=7,x=﹣5/2;

∴x=9/2或x=﹣5/2.

故答案为:1,4,x=9/2或x=﹣5/2.

绝对值的几何意义:绝对值知识的实际应用

例2.为了加强校园周边治安综合治理,警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻,如果规定向东为正,向西为负,从出发点开始所走的路程(单位:千米)为:

+2,﹣3,+2,+1,﹣2,﹣1,﹣2

(1)此时,这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置?

(2)已知每千米耗油0.25升,如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点,这次巡逻共耗油多少升?

【解答】(1)根据题意得:+2+(﹣3)+2+1+(﹣2)+(﹣1)+(﹣2)=﹣3.

由此时巡边车出发地的西边3km处.

(2)依题意得:

0.25×(|+2|+|﹣3|+|+2|+|+1|+|﹣2|+|﹣1|+|﹣2|+|﹣3|)=0.25×16=4,

答:这次巡逻共耗油4升.

绝对值的几何意义

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